整数はおまかせ

京都大学2006年度理系第一問
[Q(x)を2次式とする.整式P(x)はQ(x)では割り切れないが,{P(x)}^2は
Q(x)で割り切れるという.このとき2次方程式Q(x)=0は重解をもつことを示せ.]
代数学の基本定理より
Q(x)は複素根を2つ持つ.
P(x)が整数係数多項式なので,
一意分解整域(素因数分解の一意性が成り立つ)である.
ここでの既約元(素因数)とはそれ以上割り切れない
整数係数多項式である.
ここでQ(x)が重解でないと仮定すると,
b≠cの複素数を利用して
Q(x)=a(x-b)(x-c)と書ける.
一方,P(x)=Π{n}{i=1}Pi(x)と素因数分解する.
Q(x)|P(x)^2より
(x-b)|Pi(x)^2 and (x-c)|Pj(x)^2
1≦i,j≦n
である.
ここでPiを複素根を用いて分解すると,
(x-b)がそのどれかの二乗と一致せねばならず,
結果的に(x-b)|Pi(x)と(x-c)|Pj(x)
が成立しなければならないが,
これはQ(x)|P(x)と同じことなので矛盾する.

整数係数多項式は素因数分解の一意性が成立するという
ことを知っていれば上のようにうまくいくけど,
実数係数の多項式は解を複素数まで拡大してやると
一次式の積で書けるという事実も利用している.
これが一番最初に書いた代数学の基本定理.
この証明に関しても時間があれば載せたいなぁ….