不等式評価

大学入試問題において不等式評価が問題になる時は
大抵難しいこと(シビアな評価を訊いていること)が多い.
[nは正の整数です。不等式(n!)^2≧n^nが成り立つことを示してください。(06,新潟大)]
不等式評価の定石は
数学的帰納法/式変形/関数の形を用いる
の三つに分類することができる.
この問題の前に次の不等式の評価を行っておくと便利である.
自然数nに対して
n^n≧(n+1)^(n-1)
まず,自然数nを実数xに拡張した次の関数の評価を行う
f(x)=xlog(x)-(x-1)log(x+1)
微分して
f'(x)=log(x)+1-log(x+1)-(x-1)/(x+1)
=log(x/(x+1))+2/(x+1)
もう一回微分して
f''(x)=1/x-1/(x+1)-2/(x+1)^2
=(x-1)/x(x+1)^2

従ってf'(x)はx≧1で単調増加するので,
f'(x)≧f'(1)=log(e)-log(2)>0
となるので,
f(x)はx≧1で単調増加である.

よってf(n)≧f(1)=0であるので,
nlog(n)-(n-1)log(n+1)≧0であり,
n^n≧(n+1)^(n-1)を得る.

この不等式評価を利用して,
最初の問題を解いてみよう.
まずn=1では自明に成立する.
n=kの時の成立を仮定すると,
(k!)^2≧(k)^k
上の式の両辺に
(k+1)^2を掛けても不等式評価は変化しないので,
(k+1)^2*(k!)^2≧(k+1)^2*(k^k)
(k+1!)^2≧(k+1)^2*(k^k)
ここで左辺に対してn^n≧(n+1)^(n-1)の評価を行うと,
(k+1!)^2≧(k+1)^2*(k^k)≧(k+1)^2*(k+1)^(k-1)
よって
(k+1!)^2≧(k+1)^(k+1).
kの時仮定してk+1での成立も示せたので数学的帰納法より
任意の自然数nについて成立することがいえる.

個人的にはn^n≧(n+1)^(n-1)という不等式評価が
なかなか好きですね〜.